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| Russells Paradoxie: Auch Russellsche Antinomie genannt. Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Das Problem ist, dass die Bedingung für das Enthaltensein in dieser Menge gleichzeitig die Bedingung für das Nichtenthaltensein in derselben Menge ist. Siehe auch Paradoxien, Menge, Mengenlehre. _____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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Gottlob Frege über Russells Paradoxie – Lexikon der Argumente
Thiel I 335 Logik/Frege/Thiel: Freges Begriff der Logik, auf die er die gesamte nicht-geometrische Mathematik zurückführen wollte, war ein weiterer als der heutige. Für Frege zählt die Mengenbildung nämlich zu den logischen Prozessen, sodass der Übergang von der Aussage, dass genau dieselben Gegenstände unter zwei Begriffe A und B fallen, zur Aussage der Gleichheit der Begriffsumfänge von A und B bei Frege ein Gesetz der Logik ist. >Begriffsumfang. I 335/336 Heutige Auffassung: Begriffsumfänge sind nichts anderes als Mengen, daher gehört das Gesetz nicht in die Logik, sondern zur Mengenlehre. In der Traditionellen Logik war die Lehre der Begriffsumfänge Teil der Logik. Heute sind sie Teil der Mengenlehre, während die Lehre vom "Begriffsinhalt" in der Logik verbleibt. Dies ist recht merkwürdig. Russelssche Antinomie/5. Grundgesetz/Frege: Frege gab die Schuld an der Inkonsistenz dem fünften seiner "Grundgesetze"(1) (d.h. Axiome) nach dem zwei Begriffe dann und nur dann den gleichen Umfang haben, wenn jeder Gegenstand, der unter einen von ihnen fällt, auch unter den anderen fällt. Und allgemeiner, wenn zwei Funktionen den gleichen >"Wertverlauf" (von ihm geprägtes Kunstwort) haben, dann und nur dann, wenn sie für jedes Argument genau denselben Wert ergeben. Frege kam in seiner ersten Analyse des Unglücksfalles zu dem Schluss, dass nur die Ersetzung der Argumente in den Funktionstermen durch Namen für die gleichgesetzten Begriffsumfänge bzw. Wertverläufe selbst zu dem Widerspruch führe. Er änderte dementsprechend sein Grundgesetz V ab, in dem er die Verschiedenheit aller einsetzbaren Argumente von diesen speziellen Begriffsumfängen bzw. Wertverläufen durch ein dem Ausdruck vorgeschaltetes Antecedens forderte. Er hat nicht mehr erlebt, dass dieser Versuch ("Freges way out") sich doch als ungeeignet erwies. Thiel I 337 Russell und Whitehead sahen sich genötigt, mit ihrer verzweigten Typentheorie das logizistische Programm noch einmal zu begraben. Die Existenz eines unendlichen Individuenbereichs musste durch ein eigenes Axiom postuliert werden, (da sie nicht im System selbst beweisbar war), und ein ebenso ad hoc eingeführtes und anders nicht begründbares "Reduzibilitätsaxiom" ermöglichte typenunabhängige Allaussagen z.B. über reelle Zahlen. >Reduzibilitätsaxiom. >Typentheorie. Schon beim Erscheinen der zweiten Auflage von Principia Mathematica war offensichtlich, dass die Zurückführung der Mathematik auf die Logik gescheitert war. Somit markiert die Russellsche Antinomie das unglückliche Ende des Logizismus. 1. Gottlob Frege [1893–1903]: Grundgesetze der Arithmetik. Jena: Hermann Pohle_____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
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